LEYES KIRCHHOFF

Sintesis:

¿Qué son las leyes de Kirchhoff?

En el análisis de circuitos eléctricos no suele ser suficiente con emplear la ley de Ohm, para ello se acude a las leyes de Kirchhoff que complementan el análisis de circuitos como una herramienta eficaz para analizar y resolver una gran variedad de circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff se llaman así en honor al físico alemán Gustav Robert Kirchhoff quien introdujo la ley de corriente (o primera ley de Kirchhoff) y ley de tensión (o segunda ley de Kirchhoff).

Primera ley: Ley de corriente de Kirchhoff

La ley de corriente de Kirchhoff o primera ley está basada en la ley de la conservación de la carga, lo cual implica que la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar.

“Estableciendo en la ley de corriente de Kirchhoff (o LCK por sus siglas) que, la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es cero.”

Esto se puede expresar matemáticamente como,

N

∑

n=1

in = 0

Donde:

• N = Número de ramas conectadas al nodo.

• in = n-ésima corriente que entra o sale del nodo.

De acuerdo a la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), se pueden considerar positivas o negativas las corrientes que entran a un nodo, siempre y cuando las corrientes que salen de ese nodo se tomen con el signo opuesto a las corrientes que entran al mismo nodo.

III123

Aclarando la polaridad que deben de tener las corrientes se puede observar en la Figura que I1 entra al nodo mientras que I2 e I3 salen del nodo.

Nota: El las siguientes ecuaciones el color azul representa las corrientes que entran al nodo, mientras que el color rojo representa las corrientes que salen del nodo.

• Optando por, corrientes que entran al nodo tienen polaridad positiva, la suma algebraica de corrientes en el nodo es:
  I1 + (-I2) + (-I3) = 0

• Optando por, corrientes que entran al nodo tienen polaridad negativa, la suma algebraica de corrientes en el nodo es:
  (-I1) + I2 + I3 = 0

Para comprobar la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), supóngase que un conjunto de corrientes, fluye en un nodo.
La suma algebraica de las corrientes en el nodo es

It(t) = I1(t) + I2(t) + I3(t) + ...

La integración de ambos miembros de la ecuación anterior produce:

Donde,

qk(t) = ∫ Ik(t)dt

qT(t) = ∫iT(t)dt

Sin embargo, la ley de conservación de la carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica de las cargas eléctricas en el nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carga neta. Así, qT(t)=0 → iT(t)=0, lo que confirma la validez de la LCK.

Considerando el nodo de la Figura y aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff obtenemos la suma algebraica de corrientes en el nodo:

IIIII12534

Nota: El las siguientes ecuaciones el color azul representa las corrientes que entran al nodo, mientras que el color rojo representa las corrientes que salen del nodo.

• Cuando las corrientes que entran al nodo se consideran con polaridad positiva y las corrientes que salen del nodo se consideran con polaridad negativa:
  I1 + (-I2) + I3 + I4 + (-I5) = 0

• Cuando las corrientes que entran al nodo se consideran con polaridad negativa y las corrientes que salen del nodo se consideran con polaridad positiva:
  (-I1) + I2 + (-I3)+ (-I4) + I5 = 0

• Otra forma de expresar la ley de corriente de Kirchhoff se obtiene considerando que la suma de corrientes que entran al nodo es igual a la suma de corrientes que salen del nodo, así;
  I1 + I3 + I4 = I2 + I5

Observar que las corrientes I1, I3 e I4 entran al nodo y las corrientes I2 e I5 salen del nodo.

La ley de corriente de Kirchhoff se puede aplicar también a una frontera cerrada, la cual puede considerarse como un caso generalizado de la LCK debido a que un nodo se puede tomar como una superficie cerrada contraída en un punto. Un ejemplo de una frontera cerrada se muestra en la Figura en donde la corriente total que entra a la trayectoria cerrada es igual a la corriente total que sale de esa trayectoria.

La combinación de fuentes de corriente en paralelo resulta ser una aplicación simple de la ley de corriente de Kirchhoff, en donde la suma algebraica de corrientes es obtenida de las corrientes suministradas por cada fuente. Un ejemplo de combinación de fuentes de corriente en paralelo se muestra en la Figura, las cuales pueden combinarse para obtener una sola fuente de corriente equivalente y que es posible determinar su valor al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo a.

IIIIab321TIIabTT

IT + I2 = I1 + I3

Obteniendo la corriente total como:

IT = I1 - I2 + I3

“Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes en serie, sólo si esas corrientes tienen el mismo valor. Recordando que la corriente en un circuito en serie es igual y la corriente en paralelo diferente.”

Ejemplo de la primera ley de corriente de kirchhoff

En referencia al circuito de la figura, halle las corrientes I1, I2 e I3 así como las tensiones V1, V2 y V3.

VVV+_32VIIIV4Ω4Ω2Ω+_+_+_231a132

Solución:
Para hallar las corrientes, primero se aplica la ley de Ohm:

V1 = 4I1

V2 = 4I2

V3 = 2I3

Por consiguiente se aplica la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo Va:

I1 = I2 + I3

A continuación se obtienen las ecuaciones de I1, I2 e I3 con la ley de ohm, considerando un diferencial de potencial. Para este caso se emplea el uso de la dirección de las flechas para indicar Vx - Vy, correspondiente a "inicio de la flecha" - "fin de la flecha".

I1 = 

32 - Va

4

I2 = 

Va - VGND

4

I3 = 

Va - VGND

2

Las ecuaciones se pueden simplificar más ya que VGND = 0.

I1 = 

32 - Va

4

I2 = 

Va

4

I3 = 

Va

2

Ahora debemos sustituir las anteriores ecuaciones en:

I1 = I2 + I3

Por lo tanto,

32 - Va

4

 - 

Va

4

 - 

Va

2

 = 0

Resolviendo la anterior ecuación para obtener Va:

32 - Va

4

 =

Va

4

 + 

Va

2

32 - Va

4

 =

3Va

4

32 - Va = 

3Va

4

 (4)

32 - Va = 3Va

32 = 3Va + Va

32 = 4Va

Va = 

32

4

 = 8 V

Una vez que se obtiene la tensión en el nodo Va, se prosigue a sustituir este valor en las ecuaciones obtenidas por ley de Ohm para conocer los valores de las corrientes que entran y salen del nodo, así:

I1 = 

32 - Va

4

 =

32 - 8

4

 = 6 A

I2 =

Va

4

 =

8

4

 = 2 A

I3 = 

Va

2

 = 

8

2

 = 4 A

De acuerdo a las corrientes obtenidas, se corrobora que la suma de las corrientes que entran o salen del nodo es cero.

I1 - I2 - I3 = 0

6 - 2 - 4 = 0

Aplicando la ley de Ohm se obtienen los voltajes en las diferentes resistencias.

V1 = 4I1 = 4(6) = 24 V

V2 = 4I2 = 4(2) = 8 V

V3 = 2I3 = 2(4) = 8 V

Segunda ley: Ley de voltaje de Kirchhoff

La ley de voltaje de Kirchhoff o segunda ley está basada en el principio de conservación de la energía, lo cual implica que la suma algebraica de la energía producida dentro de un sistema siempre permanece constante.

“Estableciendo en la ley de voltaje de Kirchhoff (o LTK por sus siglas) que, la suma algebraica de las tensiones en una trayectoria cerrada (o malla) es cero.”

Esto se puede expresar matemáticamente como,

Donde:

• M = Número de tensiones presentes en la malla.

• Vm = m-ésima tensión en la malla.

De acuerdo a la ley de voltaje de Kirchhoff (LTK), se pueden considerar positivas o negativas las tensiones presentes en una malla, esto depende de la polaridad que se le asigne a cada tensión y del sentido de la corriente en cada malla, ya sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario.

+__+VVVV+_I+_V+_12345

Aclarando la polaridad que deben de tener las tensiones en la malla acorde a la LTK, se puede observar en la Figura que la corriente fluye en el sentido de las manecillas del reloj.

La polaridad de la tensión se asigna de acuerdo a la primera terminal encontrada al recorrer la malla en el sentido en que fluye la corriente, se comienza con cualquier elemento hasta recorrer todos los elementos de la malla o lazo. En este caso, para el primer elemento V1 la corriente fluye de la terminal negativa a la positiva, por ello a V1 le corresponde un signo negativo. Para el elemento con V2 la corriente fluye de la terminal positiva a la negativa, por ello a V2 le corresponde un signo positivo, sucede lo mismo con V3. Para el cuarto elemento V4 la corriente fluye de negativo a positivo, por ello le corresponde un signo negativo y finalmente V5 tendría un signo positivo ya que la corriente fluye de positivo a negativo.

Nota: El las siguientes ecuaciones el color azul representa el voltaje + a -, mientras que el color rojo representa el voltaje - a +.

-V1 + V2 + V3 - V4 + V5 = 0

Cuando la corriente que fluye por la malla se considera en sentido contrario de las manecillas del reloj, la ecuación resultaría:

V1 - V2 - V3 + V4 - V5 = 0

La combinación de fuentes de tensión en serie resulta ser una aplicación simple de la ley de voltaje de Kirchhoff, en donde la suma algebraica de tensiones es obtenida de las tensiones suministradas por cada fuente. Un ejemplo de combinación de fuentes de tensión en serie se muestra en la Figura, las cuales pueden combinarse para obtener una sola fuente de tensión equivalente y que es posible determinar su valor al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff en las terminales ab.

+_abV+_+__+VVVab123+_abV+_Vabs

- Vab + V1 + V2 - V3 = 0

Obteniendo la tensión total como:

Vs = Vab = V1 + V2 - V3

“Un circuito no puede contener dos tensiones diferentes en paralelo, sólo si esas tensiones tienen el mismo valor. Recordando que la tensión en un circuito en paralelo es igual y la tensión en serie puede ser diferente.”

Ejemplo de la segunda ley de voltaje de kirchhoff

En referencia al circuito de la Figura, halle las tensiones V1 y V2 .

VV+_30V6Ω9Ω_++_I21

Solución:
Para hallar las tensiones V1 y V2, primero se aplica la ley de Ohm:

V1 = 6I

V2= -9I

Concepto para analizar: El signo se considera debido a la dirección de entrada del flujo de corriente, así que el signo corresponde al signo de entrada de nuestro elemento o componente electrónico.

Nota: El las siguientes ecuaciones el color azul representa el voltaje + a -, mientras que el color rojo representa el voltaje - a +.

Por consiguiente se aplica la ley de tensión de Kirchhoff en la malla de acuerdo a la polaridad marcada en las tensiones;

-30 + V1 - V2 = 0

Ahora bien, se sustituyen las ecuaciones obtenidas por ley de Ohm en la ecuación obtenida de la ley de tensión de Kirchhoff, así;

-30 + 6I - (-9I) = 0

-30 + 6I + 9I = 0

-30 + 15I = 0

15I = 30

I = 

30

15

I = 2 A

Una vez que se obtiene la corriente de la malla, se prosigue a sustituir este valor en las ecuaciones obtenidas por ley de Ohm para conocer los valores de las tensiones, así:

V1 = 6I = 6(2) = 12 V

V2 = -9I = -9(2) = -18 V

Concepto Importante: El signo negativo nos indica que la consideración es contraría, se planteo de esta manera para saber que ocurre si planteamos los signos a nuestro criterio e incorrectamente.

De acuerdo a las tensiones obtenidas, se corrobora que la suma de las tensiones en la malla es cero.

-30 + V1 - V2 = 0

-30 + 12 - (-18) = 0

-30 + 12 + 18 = 0